PSYCHROMÉTRIE : Équations de l'air humide

La psychrométrie désigne les caractéristiques physiques et thermodynamiques d'un mélange gaz-vapeur.

L'air humide étant un mélange gaz-vapeur, l'étude de ses caractéristiques est appelée "Psychrométrie".

Un des premiers appareils permettant de mesurer deux grandeurs fondamentales de l'air humide est le Psychromètre".
En effet, cet appareil, constitué de deux thermomètres, permet de mesurer :

• La température sèche de l'air (appelée aussi "de bulbe sec" par analogie au bulbe du thermomètre) qui définit le "degré d'agitation moléculaire de l'air".
• La température humide de l'air (appelée aussi "de bulbe humide") obtenue par la mesure, à l'aide d'un bout de tissu enveloppé sur l'élément de mesure (bulbe), imbibé d'eau et ventilé pour provoquer l'évaporation de cette eau. Cette température est par la nature même de l'échange thermodynamique eau/air (évaporation) inférieure à la température sèche de cet air.

Ces deux mesures permettent de définir, de façon relativement précise, les caractéristiques de l'air humide.
Une réglette, livrée avec l'appareil, donne la valeur de l'humidité relative de l'air.
De nos jours, les appareils de mesure numériques permettent de déterminer toutes les caractéristiques rapidement avec une erreur relative faible eu égard à la qualité de la ventilation et d'évaporation de l'eau sur le thermomètre de bulbe humide du Psychromètre.

Le diagramme représentant les caractéristiques de l'air humide ("Diagramme de l'air humide") est donc naturellement appelé "Diagramme Psychrométrique".

Avant d'étudier ses caractéristiques et les expressions littérales de calcul, il convient de définir les caractéristiques de la pression de vapeur saturante de l'eau contenue dans l'air.

1. PRESSION OU TENSION DE VAPEUR SATURANTE DE L'AIR HUMIDE

Comme tous les liquides, les phases de l'eau peuvent être définies de façon précise à partir de sa pression de vapeur.

Pour une température sèche donnée :

• Si la pression de vapeur est inférieure à la pression de vapeur saturante, on parle alors de pression partielle de vapeur d'eau. L'eau est à l'état de vapeur : on dit que l'état est monophasique. La vapeur d'eau n'est pas visible car elle est en phase gazeuse. Elle coexiste avec l'air sec pour former un mélange homogène : c'est l'air humide.
  
  
• Si la pression partielle de vapeur d'eau est égale à la pression de vapeur saturante.
  L'eau liquide coexiste avec la vapeur d'eau et les deux phases sont en équilibre : l'état est biphasique.
  Cette situation d'équilibre peut être matérialisée sur une courbe pvs = f (θ).
  Sur cette courbe, on dit que l'air y est saturé ( la vapeur d'eau est condensée et se trouve sous forme liquide ou de gouttelettes d'eau).
  Cette courbe est appelée courbe de saturation ou de pression de vapeur saturante : à une température sèche donnée, il ne peut y avoir qu'une et une seule situation d'équilibre définie par le point de coordonnées (pvs₀,θ₀).
  
  
• Enfin si la pression est supérieure à la pression de vapeur saturante, la totalité de l'eau est condensée. On dit que l'air est "sursaturé" et la zone correspondante est appelée zone de sursaturation ou de brouillard. L'eau se trouve sous forme de liquide ou de glace (neige).
  

On représente en coordonnées rectangulaires : la température sèche en abscisse et la pression de vapeur saturante en ordonnée.

Le graphe ci-contre permet de mieux situer les différentes zones :

• La zone de l'air humide ambiant (vapeur d'eau) : pv < pvs
  
• La "frontière" entre ces deux zones qui est matérialisée par la courbe de saturation en rouge (vapeur d'eau + eau liquide) : pv = pvs
  
• La zone de brouillard (eau liquide ou glace) : pv > pvs

Tableau de valeurs de pvs = f (θ) :

θ (°C)	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25
pvs (Pa)	165,3	259,9	401,76	611,21	872,49	1228	1705,45	2338,8	3169,22

La pression de vapeur saturante dépend de la température sèche de l'air.
Les valeurs, dans le tableau, ont été calculées à l'aide des formules (1) et (2) données ci-dessous.

Remarques :
Un air chaud (à température sèche élevée) aura des molécules plus éloignées les unes des autres du fait d'une plus intense agitation, conséquence directe d'un niveau énergétique plus grand. Une grande quantité d'eau pourra être ajoutée avant de saturer cet air. Par contre, une température plus basse de l'air conduira à une apparition plus rapide de la saturation (molécules plus proches). C'est pourquoi en hiver, l'air humide a tendance à facilement faire apparaître du brouillard, même si la quantité d'eau contenue dans cet air est faible.

Calcul de la pression de vapeur saturante à la température sèche en [Pa] : (Hyland and Wexler 1983b)

Pour les températures comprises entre -55 °C et 0°C :

Ln [pvs_(T)] = C₁/T + C₂ + C₃.T + C₄.T² + C₅.T³ + C₆.T⁴ + C₇. Ln (T)  (1)

Avec
C₁ = -5,6745359.10³
C₂ = 6,3925247
C₃= -9,677843.10^-3
C₄ = 6,221571.10^-7
C₅ = 2,0747825 .10^-9
C₆ = -9,484024 .10^-13
C₇ = 4,1635019

Pour les températures comprises entre 0,01 °C et 160°C :

Ln [pvs_(T)] = C₈/T + C₉+ C₁₀.T + C₁₁.T² + C₁₂.T³ + C₁₃. Ln (T)  (2)

Avec
C₈ = -5,8002206.10³
C₉ = 1,3914993
C₁₀= -4,8640239.10^-2
C₁₁ = 4,1764768.10^-5
C₁₂ = -1,4452093 .10^-8
C₁₃= 6,5459673

T : Température sèche de l'air en [K] (Kelvin)
pvs : Pression de vapeur saturante en [Pa]

N.B. : Une autre expression, plus simple et de forme exponentielle, permet aussi de réaliser le calcul mais avec une précision moindre pour les basses températures :

pvs_(θ) = e ^{6,4146 + (17,279 . θ) / (237,4765 + θ)}  (3)

θ : température sèche de l'air en [°C]
pvs : Pression de vapeur saturante en [Pa]

2. HUMIDITÉ ABSOLUE, TENEUR EN EAU, OU HUMIDITÉ SPÉCIFIQUE

C’est la quantité d’eau contenue dans l’air sous forme de vapeur ou éventuellement d’eau et de glace par rapport à la masse totale d’air sec. Sa lettre de notation la plus utilisée est x, mais on utilise souvent la lettre w. La lettre r est la lettre utilisée sur ce site.
L’humidité absolue a pour expression : r = m_v / m_as
avec pour l’air sec : m_as = p_as . V / ( 287,1 . T )
   pour la vapeur d’eau: m_v = p_v . V / ( 461,5 . T )

En remplaçant m_v et m_as par leur expression respective, on a :
 r = V . p_v . 287,1 . T / ( p_as . V . 461,5 . T) = 287,1 . p_v / ( 461,5 . p_as )

Or p_as = p – p_v , donc l'humidité absolue peut s'écrire :

 r = 287,1 . p_v / [ ( 461,5 . ( p – p_v ) ] = 0,622 . pv / (p – p_v)
 r est exprimé en kg_eau/ kg_as ou en g_eau/ kg_as

L'humidité absolue contenue dans la masse unitaire de 1 kg d'air sec est aussi appelée humidité spécifique et dépend directement de la pression de vapeur d'eau et de la pression atmosphérique.

Sur le graphe précédent (courbe de saturation), on peut donc représenter un deuxième axe d'ordonnées représentant cette humidité absolue r (voir la construction du diagramme).

3. HUMIDITÉ RELATIVE (DEGRÉ HYGROMÉTRIQUE)

L’humidité relative Hr ou degré hygrométrique φ est le rapport de la pression partielle de vapeur d’eau de l’air humide (à la température considérée) à la pression de vapeur saturante à la même température :

 Hr = 100 . pv_(θ) / pvs_(θ) en %  ou   φ = pv_(θ) / pvs_(θ) sans dimension

 Remarques :

• L’humidité relative est donc comprise entre 0 et 1 (ou 0 et 100 %)
• Si φ = 0 alors l’air est absolument sec
• Si φ =1 alors l’air est à saturation
• Plus le degré hygrométrique est élevé, plus la pression partielle de vapeur d’eau est proche de la pression de vapeur saturante.
• La courbe de saturation correspond à la valeur de 1 ou 100 %.

4. TEMPÉRATURE DE ROSÉE

C'est la température à laquelle la vapeur d'eau contenue dans l'air commence à se condenser au contact d'une paroi froide refroidie lentement. A ce moment, l'air est saturé.

Calcul de la température de rosée :

Les formules polynomiales (1) et (2) sont implicites. Le calcul de la température de rosée à partir de ces formules ne peut se faire qu'en utilisant un développement mathématique ou en réalisant un calcul itératif (Le logiciel DimClim utilise le calcul itératif).

La formule (3) permet d'obtenir plus simplement l'expression de la température de rosée :
 θ_r = 237,4765 . [ Ln ( φ . pvs_{( θ )} ) – 6,4146 ] / [ 23,6936 – Ln ( φ . pvs_{( θ )} ) ] exprimée en [°C]

La température de rosée dépend de la température sèche, de l'humidité absolue donc de la pression partielle de vapeur d'eau.

5. TEMPÉRATURE HUMIDE

C’est la température atteinte par l’air non saturé lorsqu’il le deviendrait (au bout d’un temps infini) au contact d’eau déjà à cette température. A l’infini, pour qu’il n’y ait plus d’échange de chaleur entre l’eau et l’air, celui-ci ne peut être que saturé, et, l’eau et l’air à la même température. Cette température est indiquée par un "thermomètre humide" dont le bulbe est recouvert d’un peu d’eau et placé dans l’air en mouvement. Autrement dit c’est la température d’évaporation de l’eau du bulbe dans l’air renouvelé.
Le Docteur Willis CARRIER a proposé en 1911 une formule permettant de calculer cette température.

Malheureusement cette relation est implicite et ne peut se calculer que par itération :

 pv_{( θh )} = pvs_{( θh )} – [ ( p – pvs_{(θ h )} ) . ( θ – θ_h ) / ( 1532,4 - 1,3.θ_h ) ]

6. ENTHALPIE SPÉCIFIQUE :

C’est la somme des quantités de chaleurs sensible et latente de l’air sec et de la vapeur d’eau rapportée au kilogramme d’air sec.
Elle se décompose de la manière suivante :

• Chaleur sensible d’un kilogramme d’air sec : h_as = Cp_as. θ   Cp_as = 1,000 kJ/kg_as.K
• Chaleur sensible de la vapeur d’eau :     r . Cpv . θ     Cpv = 1,96 kJ/kg_eau.K
• Chaleur latente de la vapeur d’eau :     r . 2490      Lv = 2490 kJ/kg_eau

 h = h_as + r . hv = 1,000 . θ + r . ( 2490 + 1,96 . θ ) en kJ/kg_as

7. CONCLUSION

L'ensemble des formules développées sur cette page montre la complexité de leur mise en œuvre surtout pour les calculs de la pression de vapeur saturante, de la température de rosée et de la température humide. C'est pourquoi, on a construit un outil graphique qui regroupe, sur une même page, tous les paramètres de l'air humide sans réaliser ces calculs longs et fastidieux.

• Cet outil graphique s'appelle un Diagramme de l'air humide :
  En abscisse, on représente la température sèche θ, en ordonnée l'humidité absolue ou spécifique r (et si nécessaire la pression de vapeur saturante), un troisième axe très important est l'axe des enthalpies spécifiques h; La courbe de saturation de l'air à 100% délimite l'espace entre deux états de l'air : air non saturé et air saturé.
• Le diagramme de l'air humide est un diagramme enthalpique de la forme [ h = f ( r , θ) ].
  Comme pour tout diagramme, la précision des valeurs lues est moindre que celles obtenues par calcul.

Le logiciel DimClim dispose de tous les outils permettant de réaliser ces calculs très rapidement et avec une grande précision. De plus, il permet de réaliser la construction d'un projet de climatisation facilement et très rapidement.

N.B. : Cette page est disponible au format pdf dans la section "Téléchargements".

⇒ Diagrammes de l'air humide