ÉQUATIONS DES GAZ PARFAITS

COMPRESSIBILITÉ DES GAZ PARFAITS :

La compression d'un gaz résulte de l'augmentation de pression par diminution de son volume.

Loi de Boyle-Mariotte :

Si la compression du gaz est isotherme ( à température constante), le produit de la pression absolue du gaz et de son volume est constant :

p . V = Constante ( à θ = constante) avec p en [Pa] ; V en [m³ ]

Autrement dit : le volume occupé par une même masse de gaz, à température constante, est inversement proportionnel à la pression supportée par ce gaz.

On peut donc écrire pour une température donnée constante :
p₁.V₁ = p₂.V₂ = p₃.V₃ = p_n.V_n ou p₁/p₂ = V₂/V₁

Un gaz est dit parfait s'il suit exactement la loi de Boyle-Mariotte.

Les gaz réels ne suivent pas exactement cette loi, mais dans les applications courantes, il sera possible sans faire d'erreur appréciable, de considérer les gaz réels comme parfaits.
Le produit p.V représente une énergie car : Pa.m³ = N.m = J (Joule)

Si on se réfère au volume massique de gaz, la constante de Mariotte représente un travail par unité de masse ou une énergie massique : Pa.m³/kg = J/kg

Loi de Charles :

Si on fait subir à une masse de gaz une transformation isochore (à volume constant) obtenue en faisant varier la température du gaz, la pression augmente avec la température :
p = p₀ ( 1 + α . θ )
avec p₀ pression du gaz à 0°C , p pression du gaz à θ ° C et α coefficient moyen d'augmentation de pression à volume constant.

Ce coefficient vaut pour tous les gaz parfaits : α = 1 / 273,15 = 3,661.10^–3 °C^-1

La loi de Charles permet de définir une autre relation importante.

Si nous considérons une masse gazeuse au zéro absolu (θ = – 273,15 °C), on a :
p = p₀ . ( 1 – 273,15/273,15) = 0 Pa (Au zéro absolu, la pression des gaz est nulle).

Si on fait intervenir la température absolue, la loi de Charles s'écrit : p = p₀.(1 + θ/ 273,15 )
p = p₀ [(273,15 + θ ) / 273,15 ] donc p = p₀. T / 273,15

Entre un état initial 1 et un état final 2, on peut donc écrire : p₁ / p₂ = T₁ / T₂

Loi de Gay-Lussac :

Si l'on fait subir à une masse de gaz une transformation isobare (à pression constante) obtenue en faisant varier la température du gaz, le volume augmente avec la température :
V = V₀. ( 1 + α .β)

C'est la loi fondamentale de la dilatation des gaz à pression constante.

β est le coefficient de dilatation volumique à pression constante.

L'expérience montre que α = β donc α = β = 1/ 273,15 = 3,661.10^-3 °C^-1

En reprenant la même démarche que celle ci-dessus, on peut écrire que :
V₁ / V₂ = T₁ / T₂

ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES GAZ PARFAITS :

Considérons deux transformations suivantes appliquées à une même masse quelconque de gaz :

Première transformation :
- état initial p₀,V₀ et T₀ = 273,15 K
- état final p₀,V₁ et T

Deuxième transformation :
- état initial p₀, V₁ et T
- état final p ,V et T

Appliquons la loi de Gay-Lussac à la première transformation :
V₁ = V₀. ( 1 + θ / 273,15 ) = V₀ . T / 273,15

La loi de Boyle-Mariotte à la deuxième :
p₀. V₁ = p. V donc V₁ = p . V / p₀

Si nous remplaçons la 2^èmeexpression dans la 1^ère, on a :
p . V = p₀.V₀ . T / 273,15 = p₀.V₀ . T / T₀

On obtient donc la relation générale:
p₀.V₀ / T₀ = p.V/ T (Le premier terme de l'égalité est constant).

On peut écrire : p . V / T = Constante

Constante des gaz parfaits :

Si on considère une masse de gaz de 1 kg, la valeur p₀ . V₀ / 273,15 est une constante caractéristique de la nature du gaz.

Appelons r cette constante : r = p₀. V₀ / T₀.

L'expression se réfère au volume par unité de masse c'est à dire le volume massique.

On peut donc écrire que : p . v" = r . T
avec p pression absolue du gaz en [Pa] , v" volume massique en [m³/kg], T température absolue du gaz en [K].

Dans cette équation, on retrouve la loi de Mariotte et celle de Gay-Lussac.

Unité et valeur de r :

La constante r, caractéristique de la nature du gaz, représente le travail ou l'énergie qu'il faut fournir à une masse de 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K :

r = p . v" / T avec r : constante en J/kg.K

Constante caractéristique des gaz parfaits :

Si on se réfère à la masse correspondant au volume molaire normal soit 22,41383 m³ à 0 °C et 101325 Pa, la constante r prend alors une valeur universelle R qui est la même pour tous les gaz.

Le calcul de R donne : R = p₀.V₀ / T₀ = 101325 x 22,41383 / 273,15
soit R = 8314,41 J/kmole.K (r dépend du gaz, R est la même pour tous les gaz).

ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DANS LE CAS GÉNÉRAL :

Équation caractéristique :

Pour une masse m quelconque de gaz, l'équation caractéristique des gaz parfaits s'écrit : p . V = m . r . T

Si M est la masse molaire du gaz, c'est à dire la masse d'un volume de 22,4 m³ de ce gaz aux conditions normales de température et de pression, le nombre de kilo moles de gaz est égal à : n = m / M

On en déduit : p . V = n . R . T avec p : pression absolue du gaz en [Pa], V: Volume de n kilo mole en [m³] , R : constante universelle (8314 J/kmole.K), T: Température absolue en [K].

Masse volumique d'un gaz :

Le volume occupé par n moles de gaz est :
V = n . R . T / p et m = n / M

La masse volumique a pour expression : ρ = m / V

Donc, on peut écrire : ρ = M. p / R . T

MÉLANGE DE GAZ :

L'équation caractéristique étant indépendante de la nature du gaz, on peut admettre qu'elle s'applique à un mélange de gaz parfaits :
p.V = (n₁ + n₂ + n₃ + ... ) . R . T = Σ (n . R .T)

Loi de Dalton :

Dans un mélange, les gaz diffusent rapidement les uns dans les autres de sorte que chaque gaz occupe tout le volume V en exerçant sa pression propre appelée "Pression partielle" .

La pression du mélange est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz :
p = p₁ + p₂ + p₃ + ... + p_n = Σ pi

CAPACITÉ THERMIQUE MASSIQUE :

Capacité thermique à volume constant :

La capacité thermique massique à volume constant est la quantité de chaleur qu'il faut fournir à 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K sans qu'il y ait changement de volume.

Dans une transformation isochore, la variation d'énergie interne de la masse de 1 kg de gaz est donnée par la relation :
dU = Cv . dT ou encore : U₂ – U₁ = Cv . ( T₂ – T₁)

L'énergie fournie au gaz sous forme de chaleur a pour but de modifier son énergie interne.
Cv varie très peu avec la température de sorte qu'on peut pratiquement la considérer constante pour de faibles écarts de température.

Capacité thermique à pression constante :

La quantité de chaleur que l'on a fourni à 1 kg de gaz pour élever sa température de 1 K à pression constante est égale à la somme de l'énergie que l'on aurait fourni à 1 kg de ce gaz pour l'élever de 1 K à volume constant et du travail que ce gaz a effectué pour maintenir sa pression constante :

dQ = Cv . dT + W

avec dT : élévation de température en [K]
W = p . dV où p est constante et dV la variation de volume

Or , on peut écrire que : p. dV = r . dT
donc dQ = Cv . dT + p .dV = Cv. dT + r . dT = Cp . dT

C'est à dire : Cp = Cv + r ou r = Cp – Cv (Cette dernière relation a été définie par MAYER).

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⇒ Propriétés et caractéristiques de l'Air Humide